托勒密定理的证明 十大著名数学定理

托勒密定理怎么证大于

托勒密定理：圆内接四边形的两条对角线的乘积等于两对对边的乘积之和。

如下图所示，ABCD是圆内接四边形，所以对角线AC和BD的乘积等于一对对边AB和CD的乘积加上另一对对边AD和BC的乘积，即AC BD=AB CD AD BC。

证明：

(1)如下图所示。设ACB大于ACD然后在ACB中，用顶点C和边CB做一个BCE，这样BCE=ACD(中红色的角)。

因为CAD=CBE(同一圆弧同一侧的圆周角相等)，所以三角形的ACD类似于BCE。所以有ad :be=ac3360bc，即ad BC=AC be(称为公式1)。

(2)类似地，如所示，三角形CDE类似于ABC。所以有cd:ac=de3360ab，也就是ab。CD=AC。德(称为公式2)。

(3)将公式1加到公式2得到AD BC AB CD=AC (be de)=AC BD。也就是

Ac BD=ab CD ad BC。

托勒密定理

定理：若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB.CD+BC.AD=AC.BD。

例题：（我讲道好玩的吧：）

证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。

解答：

归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。

n=1，n=2很轻松。

当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。

假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。

假设直径为r（整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC（边长a

托勒密定理的证明 十大著名数学定理

于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。）

引入一个新的点P增加了n个新的有理数距离，记这n个有理数的最大公分母为M。最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可。

归纳法成立，故有这个命题。

22.托勒密定理

如图，凸四边形ABCD内接于圆，求证：

AB×CD+BC×AD=AC×BD

证明：

如图，将三角形CAB复制后，绕点A旋转，直到射线AC重合射线AD，旋转到位置以后，按比例缩放整个三角形，到C对应的点重合在D上。该三角形在D处的角恰好等于角ADB，因此，点B对应的旋转点落在直线BD上，设为G点。

（如果不是圆内接四边形，则不能重合。托勒密不等式的证法也可如此。）

三角形DAG和三角形CAB相似,因此有：

即为：

由于上述的相似，同时可以得到：

托勒密定理的证明 十大著名数学定理

上面的比例，也可以写作

三角形DAC和三角形GAB在A处的角相等，夹A的边对应成比例，因此，这两个三角形相似。因此

此式与前面的乘法等式相加，有

即为

■

补充说明：

（如非圆内接四边形，则等式右边的两个线段DG与GB无法直接合并，但可用三角形不等式合并DG+GB>BD。由此，产生托勒密不等式。）

完整的托勒密不等式是：

（当且仅当凸四边形为圆内接四边形时，可以取等号）

为什么托勒密定理和直线上四点的欧拉定理看上去如此相似呢？

因为托勒密定理确实可以转到直线上来证明。采用一种独特的方法。

证明过程如下

引理1

如图，在圆O上取一点X，以X为圆心，作一个圆，与圆O相交，设相交弦为PQ。连接X与圆O上任意两点A，B，这两直线交直线PQ于A'和B'。则A，A'，B'，B这四点共圆。

证明：

连接XP，XQ，在三角形A'PX中，外角B'A'X等于内角P与角PXA'的和。而角P与角Q相等，因此这个和等于角Q与角PXA的和。角Q与角PXA是相邻的两段弧PX和PA所对的圆周角，因此，这个和等于弧APX所对的圆周角，即角B。

所以，角B'A'X等于角B。角B与角AA'B'互补。

故，A'B'BA四点共圆。

引理2：如上情形。设A'ABB'四点共的圆与圆X相交于点C，则XC是四点共的圆的切线。

证明：

取PQ的中点D'，设XD'交圆O于点D。同上可证明AA'D'D四点共圆。

则XA'×XA=XD'×XD

而XD'×XD = XD'(XD'+D'D)

设圆x的半径为r，上述证明表示，X对四点共圆的幂始终为r的平方。无论A在圆周何处，这四点在变动，圆在变动，但X对这些动圆的，圆幂始终不变。

所以在引理2图中，XC的平方等于圆幂。因此，XC是四点所共圆的切线。(原本第三卷第37命题)

引理3：

证明：

三角形XAB相似于三角形XB'A'则

即

而

即

代入前式，有

托勒密定理的证明 十大著名数学定理

下面证明托勒密定理：

以点D为圆心，作一个半径较小的圆，与四边形的外接圆相交。设线段AD,BC,CD与两圆的相交弦交点分别为A',B',C'。

因为四边形是凸四边形，射线DB一定在射线DA和DC之间。所以B'一定在角ADC的内部，故必定在A',C'之间。因为，A'和C'是角ADC边界上的点，假设B'不在A'C'之间，那么B'就会在角ADC的外部。这与前述矛盾。因此，B'在A'和C'之间。

因此，有A'B'+B'C'=A'C'

由引理所计算的公式，有：

代入上述等式，得

等式两边乘以DA×DB×DC，除以r，得到

即为

■

怎么证明托勒密不等式

严格地说是叫“托勒密定理”，这种网上都有，我给你个网站， 觉得好的话就选我，不好的话也没关系，反正打字很麻烦，复制过来也不好，是抄袭，楼主自己看吧。

麻烦采纳，谢谢!

托勒密定理的证明是什么？

圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。