伴随矩阵是什么（伴随矩阵是什么?是怎样构造生成的?）

本文目录一览：

• 1、什么是伴随矩阵呢？
• 2、伴随矩阵的定义是什么？
• 3、伴随矩阵是什么
• 4、伴随矩阵是什么?
• 5、伴随矩阵是什么？
• 6、伴随矩阵的概念是什么？

什么是伴随矩阵呢？

指与原矩阵形成映射、类似于逆矩阵。伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念，是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法 。

相关内容：

当A的秩为n时，A可逆，A*也可逆，故A*的秩为n。

当A的秩为n-1时，根据秩的定义可知，A存在不为0的n-1阶余子式，故A*不等于0，又根据上述公式AA*=0而A的秩小于n-1可知A的任意n-1阶余子式都是0，A*的所有元素都是0，是0矩阵，秩也就是0。

伴随矩阵的定义是什么？

设Aij为元素aij的代数余子式，定义A*=(Aji)为矩阵A的伴随矩阵。

在n阶行列式中，把元素aₒₑi所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aₒₑi的余子式，记作Mₒₑ，将余子式Mₒₑ再乘以-1的o+e次幂记为Aₒₑ，Aₒₑ叫做元素aₒₑ的代数余子式。

一个元素aₒₑi的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。

计算某一行(或列)的元素代数余子式的线性组合的值时，尽管直接求出每个代数余子式的值，再求和也是可行的，但一般不用此法，其原因是计算量太大，注意到行列式D中元素aij的代数余子式Aji与aij的值无关，仅与其所在位置有关.

扩展资料

当A的秩为n时，A可逆，A*也可逆，故A*的秩为n；

当A的秩为n-1时，根据秩的定义可知，A存在不为0的n-1阶余子式，故A*不等于0，又根据上述公式AA*=0而A的秩小于n-1可知A的任意n-1阶余子式都是0，A*的所有元素都是0，是0矩阵，秩也就是0。

参考资料来源：百度百科-伴随矩阵

伴随矩阵是什么

在线性代数中,一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念.如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数.然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法.

定义

A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；

（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第行和第列划去后,留下来的阶行列式叫做元的余子式,记着;记

,

叫做元的代数余子式）

2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵,

补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除 A的行列式D中 元素对应的第行和第列得到的新行列式D1代替 aij,这样就不用转置了）

即： n阶方阵的伴随矩阵A*为

……

……

. .

……

例如：A是一个2x2矩阵,

a11,a12

a21,a22

则由A可得 Aij (I,j=1,2)为代数余子式

此图片为相应代数余子式的计算过程.

则A的伴随矩阵 A* 为

A11 A21

A12 A22

即

a22 , -a12

-a21, a11

（余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式.特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）

注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵.

伴随矩阵是什么?

n阶方阵A的元素的代数余子式组成的矩阵称为A的伴随矩阵A*

设n阶方阵A的第i行第j列元素是aij，aij的代数余子式Aij是：去掉aij所在的第i行和第j列得到的n－1阶矩阵的行列式乘以(－1)^(i+j)。

伴随矩阵的性质：AA*＝A*A＝|A|E，|A|是A的行列式，E是单位矩阵。

在n阶行列式中，把元素ai所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ai的余子式，记作M，将余子式M再乘以-1的o+e次幂记为A，A叫做元素a的代数余子式。

（1）当矩阵是大于等于二阶时：

主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以 ，为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。

（2）当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。

（3）二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素变号。

以上内容参考：百度百科-伴随矩阵

伴随矩阵是什么？

伴随矩阵的计算公式是如下：

│A*│=│A│^(n-1)

证明：A*=|A|A^(-1)

│A*│=|│A│*A^(-1)|

│A*│=│A│^(n)*|A^(-1)|

│A*│=│A│^(n)*|A|^(-1)

│A*│=│A│^(n-1)

当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。

二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素变号。

设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数。

若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0，若A有两行或两列相等，则det(A)=0，这些结论容易利用余子式展开加以证明。

以下是伴随矩阵行列的一些运用情况

二阶矩阵的伴随矩阵，如果题目给出一个矩阵A是二阶矩阵，那么它的伴随矩阵等于原来矩阵的主对角线元素对换，副对角线元素变号即可。主对角线的元素的代数余子式跟矩阵原始的关系是对换以及变号的关系。

伴随矩阵公式的拓展，A矩阵的伴随矩阵乘以A矩阵等于A矩阵与A的伴随矩阵的乘积等于E。根据这个公式拓展矩阵的逆矩阵以及伴随矩阵行列的关系。以及逆矩阵的倒数，行列式的倒数的关系。

利用逆矩阵已知，求伴随矩阵以及伴随矩阵的伴随矩阵的行列式。等于A矩阵的行列式的N-2次方与A矩阵的乘积。

利用拉普拉斯展开式，如果给出的矩阵是明显的按照拉普拉斯的情况，那么我们是不需要考虑主对角线或者是副对角线的取值，直接取剩下的非零矩阵进行求解。或者按照伴随矩阵等于A矩阵的行列式乘以A的逆矩阵。

伴随矩阵的秩与原矩阵A的关系，如果矩阵的秩是满的状态，那么伴随矩阵的秩也是满的，如果矩阵的秩等于N-1,那么伴随矩阵的秩等于1，如果矩阵的秩小于N-1，那么伴随矩阵的秩等于0.证明时候需要行列式，以及秩的性质。秩的性质与伴随矩阵的关系，如果矩阵A的秩等于N-1,那么A的行列式等于0，而且我们知道A中有n-1个子式是不为0的，那么A的行列式等于0，AA的伴随矩阵等于0矩阵。所以A的秩加上A的伴随矩阵的秩等于或者小于N。

伴随矩阵的概念是什么？

伴随矩阵是它的每个元素的代数余子式组成的，而kA的代数余子式是A的代数余子式的每个元素乘以k，A的代数余子式是n-1阶的，把n-1行的k提出来，就是k的n-1次方了。

由数乘的定义，kA=(kaij)，即A的每个元素都乘k，所以，kA的第i行第j列元素的代数余子式(记为) Bij 等于A的第i行第j列元素的代数余子式k^(n-1)Aij，所以 (kA)* = (Bji) = (k^(n-1)Aji) = k^(n-1)(Aji) = k^(n-1)A*。

相关定理

定理1、设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)。证对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1，k+1det(M1，k+1)。

定理2、设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。