狄利克雷函数的连续性(狄利克雷函数的连续性实变函数)

狄利克雷函数为什么不连续

利用有理数的稠密性,直接按照连续的定义或者Heine定理就可以验证.

你的错误在于“已知x0属于Q,如果它不连续,必有lim(x->x0)不属于Q”,这个是错的.

狄利克雷函数的连续性(狄利克雷函数的连续性实变函数)

狄利克雷函数是连续的吗,或如何证明其不连续？

不用证明，狄利克雷函数(英语:dirichlet function)是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。

狄里克雷(1805~1859)Dirichlet，Peter Gustav Lejeune德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。

中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆;1822~1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。

在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。

在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1833年狄里克莱撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。

1837年，他构造了狄里克雷级数。1838~1839年，他得到确定二次型类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。

在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄里克雷问题。

狄利克雷函数是否几乎处处连续？

连续如下：

不是处处连续。狄利克雷函数的跳动不是一般的函数波动，而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。

所以，狄利克雷函数的一个重要特点就是：无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离，属于有理数的点上升一个单位，属于无理数的点停留在原处。当然，这只能存在于想象中，图形无法表示。

简介：

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

如何说明狄利克雷函数在某点向左或向右是连续的或者不连续。

这个函数在任意点处均不连续，

并且也不是左连续，也不是右连续。

因为函数在任意点 x0 处，左边（或右边）趋近于 x0 时，都有无数个有理数，也有无数个无理数，

因此极限均不存在，所以即不左连续，也不右连续。

狄利克雷函数的连续性是什么?

该函数在有理数点不连续，无理数点连续。

证明思路：因为实数域上有理数是可列的（有理数可表示为｛N/M},N,M均为全体整数），古有理数点都是离散的点，故函数值为1的点（有理数点）均离散。根据实数的连续性，任意两个相邻的有理数间有无穷多个无理数，这些无理数对应的函数值均为0，故在该函数无理数点连续。

（1）当x=0时，f(x)=0，在R上是连续的。

（2）当x不等于0时。

若x为有理数，则f(x)=x，若x是无理数，则f(x)=0。

从而由极限定义易得，f(x)在x处无极限，从而不连续。

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