线面垂直的判定定理(面面垂直推线面垂直的判定定理)

线面垂直的性质定理

线面垂直的性质定理：

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。

当一条直线垂直于一个平面时，则这条直线垂直于平面上的任何一条直线，简称线面垂直则线线垂直。由三垂线定理平面上的一条线和过平面上的一条斜线的影垂直，则这条直线与斜线垂直。

线面垂直的判定定理(面面垂直推线面垂直的判定定理)

线面垂直的判定定理及其证明

判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

向量法：设直线l是与α内相交直线a，b都垂直的直线，求证：l⊥α

证明：设a，b，l的方向向量为a，b，l

∵a与b相交，即a，b不共线

∴由平面向量基本定理可知，α内任意一个向量c都可以写成c= λa+ μb的形式

∵l⊥a，l⊥b

∴l·a=0，l·b=0

l·c=l·（λa+ μb）=λl·a+ μl·b=0+0=0

∴l⊥c

设c是α内任一直线c的方向向量，则有l⊥c

根据c的任意性，l与α内任一直线都垂直

∴l⊥α

扩展资料

性质定理：

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）

参考资料来源：百度百科——线面垂直

证明线面垂直有几种方法？

5种。

1、线面垂直的判定定理：直线与平面内的两相交直线垂直。

2、面面垂直的性质：若两平面垂直则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面。

3、线面垂直的性质：两平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直。

4、面面平行的性质：一线垂直于二平行平面之一，则必垂直于另一平面。

5、定义法：直线与平面内任一直线垂直。

如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。

扩展资料：

空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）

过空间内一点（无论是否在已知平面上），有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。

任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线。因为是同一个面内，所以一定能做出来。然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。

直线与平面垂直的判定定理(线面垂直定理):一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

已知m∥n，m⊥α，求证n⊥α。证明：设m∩α=M，n∩α=N。再在m、n上分别另取P、Q。

∵m∥n

∴设m与n确定平面β，且α∩β=MN

过N在α内作AB⊥MN，连接PN。

∵PM⊥α，AB⊂α

∴PM⊥AB

∵PM⊂β，MN⊂β

∴AB⊥β

∵QN⊂β

∴QN⊥AB~~~①

又∵PM⊥α，MN⊂α

∴PM⊥MN

∵PM∥QN

∴QN⊥MN~~~②

∵MN∩AB=N，MN⊂α，AB⊂α

∴QN⊥α

参考资料来源：百度百科——线面垂直

线面垂直的判定定理 线面垂直是有什么性质

1、线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。注意关键词“相交”，如果是平行直线，则无法判定线面垂直。

2、线面垂直性质定理：

（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

（2）经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

（3）如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

（4）垂直于同一平面的两条直线平行。

（5）推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）

线面垂直的判定定理及其证明

判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

向量法：设直线l是与α内相交直线a，b都垂直的直线，求证：l⊥α

证明：设a，b，l的方向向量为a，b，l

∵a与b相交，即a，b不共线

∴由平面向量基本定理可知，α内任意一个向量c都可以写成c= λa+ μb的形式

∵l⊥a，l⊥b

∴l·a=0，l·b=0

l·c=l·（λa+ μb）=λl·a+ μl·b=0+0=0

∴l⊥c

设c是α内任一直线c的方向向量，则有l⊥c

根据c的任意性，l与α内任一直线都垂直

∴l⊥α

扩展资料

性质定理：

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）

参考资料来源：百度百科——线面垂直