小波变换基本原理（小波变换讲解）

本文目录一览：

• 1、小波变换的数学原理
• 2、小波分析在层序地层划分中的应用
• 3、小波降噪原理
• 4、连续小波变换实现信号分解的基本原理是什么?小波变换与多分辨率以及滤波器组的关系是什么？
• 5、位场小波变换原理

小波变换的数学原理

小波分析理论

小波分析是目前数学中一个迅速发展的新领网域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到??名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似於现在的小波基；1986年??名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法??多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技资讯产业领网域取得了令人瞩目的成就。 电子资讯技术是六大高新技术中重要的一个领网域，它的重要方面是影像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与影像处理可以统一看作是信号处理（影像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对於其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用於非稳定信号的工具就是小波分析。

事实上小波分析的应用领网域十分广泛，它包括：数学领网域的许多学科；信号分析、影像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；电脑分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用於数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在影像处理方面的影像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高解析度等。

(1)小波分析用於信号与影像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与影像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基於小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波网域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。

(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用於边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘侦测等。

(3)在工程技术等方面的应用。包括电脑视觉、电脑图形学、曲线设计、湍流、远端宇宙的研究与生物医学方面。

小波分析在层序地层划分中的应用

1.小波分析简介

20世纪80年代后期至今，一种著名的、在各行各业有重要应用价值的数学理论和方法技术在科学技术界得到了广泛的重视和采用，它就是被誉为“数学显微镜”的小波分析(李世雄，1994)。小波分析的主要功能和特点是，它具有多分辨分析或多尺度分析功能，可以把信号分解成各种不同的尺度成分;它具有很强的局部分析功能，同时具有时间(或空间)域和频率域的局部分析性质，它可自动地通过伸缩、平移聚焦到信号的任一细节对其加以分析(侯遵泽，1998)

(1)小波分析基本原理。小波(wavelet)，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。它有两个特点:一是“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集;二是正负交替的波动性。如果用小波和构成傅里叶分析基础的正弦波做比较的话，傅里叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波则倾向于不规则与不对称。

傅里叶分析是把信号分解到一组相互正交的正弦波上的，也就是基函数，我们可以把基函数看成是度量信号某些特征的一把“尺子”，傅里叶分析度量的就是信号的频谱特征，但是如果这把“尺子”过于规则，有时候就不能十分精确地表达信号蕴含的信息，而在小波分析中，“尺子”换成了规则程度更低的小波函数，从而可以更加有效地表达信号中信息的成分。

小波变换对不同频率在时域上的取样步长是调节性的，即在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高;在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低(图2－13)，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点(胡昌华，1999)。这就构成了利用小波变换进行信号分析的基础。

图2－13 数字信号的小波变换

(2)一维连续小波变换。小波变换实际上是求取信号在各小波函数上的投影值。每个小波函数均由一个母小波函数经过尺度伸缩与时间平移得来的。信号分析的一般思路就是分解与组合，寻找一组最能代表信号特征的函数形式，将信号用这些量来逼近，或者写成这些量的线性组合的形式。

小波分析的思想来源于伸缩和平移方法:对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压缩与伸展，而时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行移动。

(3)离散小波变换。由于连续小波变换的伸缩和平移系数是相互独立的，所以通过伸缩和平移得到的各个小波函数之间有一定的相似性，但由于这两个系数之间的独立，就引入了信息的冗余。在分辨率一定的情况下，描述了多余的信息，使得反映信号特征的一些参数相互重叠，给我们的分析带来不便，但这些特点可以用在本身就有自相似性的信号上，可以让我们更清楚地看到信号自身的自相似性。

此外，由于冗余信息的存在，也使得小波逆变换的重构过程不唯一，也就是说，由同一母小波生成的不同的小波变换函数可能重构成同一个信号。为了减少冗余信息，就引入了离散小波变换的概念，其中的伸缩和平移系数是可数的，重构过程用求和的形式给出。如果伸缩和平移系数满足一定的对应关系，则称为二进小波变换(尺度以2的幂的形式给出)。离散小波变换主要是建立在二进制小波变换的基础上的。

测井曲线数据也恰好是离散数据，符合离散变换的要求。在利用小波分析进行层序地层划分时，主要是对测井曲线进行多尺度分解，得到不同尺度下的小波变换图，利用其表现出来的特征来划分不同级次的层序。

2.利用小波分析进行层序地层划分

利用小波分析方法是层序地层划分方法上的一种新的尝试，其目的是尽量减少层序划分过程中的主观因素，依靠地层自身表现出来的客观特征来识别层序、准层序组以及准层序。在我们研究的沉积岩地层中，沉积物的特征可以反映沉积时水体的特征。随着沉积水深的变化，沉积物中多种特征都会相应的发生变化，如放射性物质含量、有机质含量或其他微量元素的含量等，这种变化就会在相应的测井曲线上反映出来。而沉积水深变化受到了多种因素的影响，有长期和短期的旋回，是多个不同周期旋回的叠加，因此测井曲线应该是沉积地层中某种随水深变化的特征的多种频率变化的响应的叠加。也就是说，测井曲线中包含着沉积水深不同周期变化的信息，是多个沉积水深变化周期相互叠加的响应。而小波分析能够将信号分解为不同频率不同周期的旋回，因此，小波分析的特点恰好可以和测井曲线的特点相对应，利用小波分析的方法可以比较准确地将测井曲线中相互叠加的反映水深变化的不同周期的信息分别识别出来，识别出的这些信息就可以用来进行沉积旋回的划分。

同时，小波分析方法还可以帮助解决传统研究方法所不能解决的一些难题，如大段单一岩性地层中的沉积旋回识别。大段单一岩性尤其是大段泥岩、页岩，并不是一个小的沉积旋回里沉积的产物，相反，应是一个相当长时期沉积下来的，但是通过传统的岩性划分方法却很难将其划分开，这就给准层序甚至准层序组的划分造成了困难。小波分析方法可以较好地解决这一问题，利用这种方法可以从测井曲线的细微变化中识别沉积间断和沉积旋回。

(1)测井曲线的选择。不同的曲线具有不同的地质含义，进行相同的变换可能会得到不同的结果。但在研究中通过对GR、AC、COND、电阻率等多条曲线进行小波变换后对比发现，不同测井曲线所得出的变换结果尽管形态上不完全一样，但在旋回的划分上却比较一致(图2－14)。图中曲线a是COND测井曲线经过db5小波变换后的结果，曲线b是同一井段AC曲线变换后的结果。出现这个结果是由于虽然不同的曲线代表着不同的地层响应，会呈现出不同的特征，但地层中各种参数的变化主要受沉积环境的影响，会随着沉积环境的旋回变化呈现出基本一致的旋回特征。这也从一个方面反映了小波变换在沉积旋回划分中的客观性。因此，可以选择目标井的测量精度较高、质量较好的曲线来进行小波变换，进而进行沉积旋回的划分。

图2－14 对COND和AC曲线进行小波变换结果对比

(2)小波的选择。同傅里叶分析不同，小波分析的基(小波函数)不是唯一存在的，所有满足小波条件的函数都可以作为小波函数，那么小波函数的选取就成了十分重要的问题，实际选取小波的标准主要有以下三种。

1)自相似性原则:对二进小波变换(因为在正交小波变换中，取样的方式就是按照小波函数取样的，所以不存在这个问题)，如果选择的小波对信号有一定相似性，则变换后的能量就比较集中，可以有效减少计算量。

2)判别函数:针对某类问题，找出一些关键性的技术指标，得到一个判别函数，将各种小波函数代入其中，得到一个最优原则。

3)支集长度:大部分应用选支集长度在5～9之间的小波。因为支集太长会产生边界问题，支集太短不利于信号能量的集中。

但在实际应用中，因为大部分信号的信息量太大，很难找到相应的模式，因此主要是依靠经验来选取。根据前人研究经验及作者对不同函数所做结果的对比，本书采用的是Daubechies小波，阶数为5。

Daubechies小波是由著名小波学者Ingrid Daubechies所创造，她发明的紧支集正交小波是小波领域的里程碑，使得小波的研究由理论转到可行。这一系列的小波简写成dbN，其中N表示阶数。

(3)工作流程。测井曲线能比较准确地反映井旁地层的电性、物性等特征，但往往会受到测井仪器、钻井泥浆等其他非地层因素的干扰，且不同频率的旋回相互叠加，对正确识别和划分沉积旋回造成一定的影响。小波分析能真正消除干扰信号，放大真实信息，按不同频率反映出测井曲线中包含的真正旋回特征，以此划分不同级别层序单元，同时还可以在划分高精度沉积旋回的基础上，与Fischer图解相结合划分出体系域。

MATLAB软件的小波分析工具箱是一种比较常用的工具。MATLAB是Math works公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。MATLAB的推出得到了广大专家学者的广泛关注，其强大的扩展功能为各个领域的应用提供了基础。各个领域的专家学者相继推出了MATLAB工具箱，包括信号处理、神经网络、图像处理、小波分析等。其中小波分析工具箱可以满足对测井曲线进行小波变换的需要。

图2－15 小波分析流程图

在对测井曲线进行小波变换时，首先需要对所研究层段的顶底界面进行准确的标定，然后将需要变换的该深度段的测井曲线数值建立单独的文本文件作为原始文件。将原始文件导入后保存成.m格式的信号文件。选择MATLAB软件的wavelet(小波分析)工具箱进行离散一维小波变换，小波类型选择db，阶数为5，最大级数定为12，将上述参数选好后进行分析，即可得到一组12条不同级次的db5小波变换曲线(图2－15)。此外对其进行连续一维小波变换，可以得到小波的频谱分析图，选择合适的最大显示值，根据频谱图上图形的闭合方向可以区分出层序的界面和层序单元(图2－6，图2－7)。

(4)单井分析实例。牛100井位于牛庄洼陷西部，地层以砂泥岩互层为主，岩性变化较快(图2－16)。利用小波分析方法对AC、R25两条测井曲线进行了一维连续小波变换，分别得到其小波变换谱系图，对AC曲线进行了一维离散变换，得到不同阶数的小波，根据与地震、测井及录井岩性资料的对比，选用d11，d9，d7三个层的小波变换曲线分别进行层序、准层序组和准层序的划分。

将传统划分方法所得的结果与小波分析方法所得结果进行对比可以比较明显的看出，在层序和准层序组的划分上两种方法划分的层序单元基本一致，可以相互验证。在准层序级别上的划分，小波分析方法的优势就比较明显地体现了出来，划分的旋回数较多，精度也有提高。这也正是小波分析作为“数学显微镜”的特点所决定的。

从图2－16中小波分析得到的d11曲线可以看出，这一段地层可以划分为两个大的旋回，对应两个层序，谱系图上的特征也比较明显。其中每个大的旋回又可以分为三个次一级的旋回，在d9及谱系图上可以找到相关界面，相当于每个层序划分出三个准层序组，每个准层序组在测井曲线及录井资料上也有较明显的反旋回特征。在进行准层组的划分时，小波分析方法可以划分出肉眼不易识别的旋回，从而提高了划分精度。整段地层一共可以划分为21个准层序，代表不同的沉积旋回。其旋回特征在d7曲线上有较好体现，从谱系图上也可以找到各界面的标志。从测井曲线和岩性上看，基本上每一个准层序都是一个反旋回，代表着一期的水体变换，这也完全符合层序地层学的基本原理。

图2－16 牛100井小波分析资料的层序地层划分

王62井位于牛庄洼陷东部，与牛100井相比，划分出的各层序单元的厚度发生了明显的变化，但数目基本一致，这也证明了小波分析划分层序地层的结果是比较可靠的。通过对AC曲线的小波变换得到AC曲线的小波变换谱系图和小波变换曲线，如图2－17所示。从谱系图和d11曲线上可以将整段地层划分为两个大的旋回，分别对应层序Ⅲ和层序Ⅳ。其中每个层序又可以划分为3个准层序组，在d9曲线上可以看到相应的旋回出现，谱系图上可以找到界面的标志(图2－17)。王62井这一段地层一共可以划分成20个准层序，缺失第一个准层序。各准层序在岩石类型、颜色和测井曲线上基本上可以看出反旋回特征，符合层序地层划分方法。

通过牛100井、王62井的划分可以看出，小波分析方法在砂泥岩互层的地层中有较好的应用效果，可以提高层序划分的精度和准确性。在层序划分中有比较好的可重复性，使得全区的划分结果比较客观和统一，减少了人为因素造成的干扰。

小波降噪原理

小波有两个显著特点：一是在时域中都具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的波动性。小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波通过平移和尺度伸缩得来的。

小波分析理论的一个重要特色是可以进行多分辨率分析。信号可通过多层分解为反映高频信息的细节部分和反映低频信息的概貌部分，通过这种多分辨率分解，信号和噪声通常会有不同的表现，从而达到信嗓分离的目的。金融时间序列去噪处理采用更广泛的方法：非线性阈值处理方法。

非线性阈值处理方法又称小波收缩法，该方法的基本原理是基于小波变换的集中能力。即通过小波变换后有用信号的能量集中于少数小波系数上，而白噪声在小波变换域上仍然分散在大量小波系数之上。因而相对来说，有用信号的小波系数值必然大于那些能量分散且幅值较小的噪声的小波系数值。因此，从谱的幅度上(不是谱的位置)看，有用信号和噪声可以实现分离。

该方法可分为以下3个步骤：

(1)选择合适的正交小波基和分解层数J，对含噪信号进行小波变换分解到J层。

(2)对分解得到的小波系数进行闭值处理，可以使用两种处理方法：硬阈值和软阈值法。硬阈值法保留较大的小波系数并将较小的小波系数置零，即：

(3)软阈值法将较小的小波系数置零，而对较大的小波系数向零进行收缩，即：

学者证明了用软阈值法能使估计信号实现最大均方误差最小化，即去噪后的估计信号是原始信号的近似最优估计。该方法具有广泛的适用性，是应用最为广泛的一种小波去噪方法，其计算速度也很快。

连续小波变换实现信号分解的基本原理是什么?小波变换与多分辨率以及滤波器组的关系是什么？

小波变换的原理是，我们所说，把原来的域变换到新的一个域的这样一种方法。

简单的理解，用离散的：就是如：11 7 9 2 这4个数，把它（用haar离散小波）（11+7）/2=9 （9+2）/2=5.5 ，11-9=2{7-9=-2}，9-5.5=3.5{2-5.5=-3.5}。上面的新的4个数，得到的分别是：9 5.5 2 3.5这就是对11 7 9 2 这4个数变换后的新域是的数据。当然，你可以去除不重要的东西。如数据:2 3.5相对9 5.5来说是小了一点，对反变换不是很大影响。（如果去了，结果就是：9 5.5 0 0）这样就可以压缩存储，或去噪了（图像等）。

至于反变换：就是，9+0 5.5+0 9-0 5.5-0 =9 5.5 9 5.5 这个我想你应该会的，就是上面的反运算，所以可以得到反变换的结果9 5.5 9 5.5 相对原始数据11 7 9 2 ，是不是有点差别，但一大一小的基本形态没有发生改变。对吧。

说到连续的变换，对于连续变换的公式我就不写了，这里，因为比较baidu这个数据格式难写，我想你如果想知道为什么这里，只能推荐你去看实变函数了。但我想提醒你的是，如果这样去看为什么，这就比较麻烦的，我学过，知道这一点。我想一般只要知道怎么用就好了。

位场小波变换原理

7.2.1.1 连续小波变换

Moreau等人提出了用于二维物理空间小波变换的基本理论，直接定义函数φ0（x∈R）的连续小波变换为卷积形式：

地球物理信息处理基础

式中：ψ（x∈R）是分析小波；a∈R+是尺度参数，膨胀算子Da定义为

地球物理信息处理基础

分析小波ψ是一维函数，可以在一类具有消失积分的振荡函数中任意选择，其支撑可以严格限制到含有坐标原点的区间内。式（7-1）的定义与一般小波变换的定义略有差别。显然有小波

地球物理信息处理基础

若φ0是a∈R阶齐次函数，即

φ0（λx）=λaφ0（x）（∀λ＞0） （7-4）

满足（7-3）和（7-4）的函数可简化为

地球物理信息处理基础

说明一个齐次函数的全部小波变换可以通过对任意单个“声音”（由Goupillaud等人最初定义的，1984）进行膨胀、改变尺度而获得。下面从位场理论引入小波。

7.2.1.2 位场解析延拓与齐次位场源：

根据面磁荷磁场理论，水平面磁荷的磁场垂直分量为

地球物理信息处理基础

式中：σ为场源的面磁荷密度；ξ，η，ζ为σ的坐标；x，y，z为观测点的坐标（z轴向下），μ0为空气的磁导率。在二维情况下，式（7-6）简化为

地球物理信息处理基础

设

，则

地球物理信息处理基础

为了归一化，取

地球物理信息处理基础

那么fz（z）=（μ0/2）σ（x，ζ）*pz-ζ（x），即观测点的场值fz（x）等于场源密度σz（x）与核函数pz-ζ（x）的卷积。若在z=z′处观测，则

fz′（x）=（μ0/2）σ（x，ζ）*pz′-ζ（x） （7-10）

其傅氏变换分别为Fz′（u）、Ξ（u，ζ）、pz′-ζ（u），得

Fz′（u）=（μ0/2）Ξ（u，ζ）·e-2π｜u｜（z′-ζ）

解析延拓到某一高度z＜z′处（注意：z轴方向向下），fz（x）的傅氏变换为

Fz（u）=Fz′（u）·e-2π｜u｜（z-z′）

便得延拓到z＜z′处的fz（x）（为讨论方便，令x=b）

地球物理信息处理基础

如取z′=0，即观测点位于x轴上，则

地球物理信息处理基础

由此可见，fz′（b）在高度z处的解析延拓值fz（b）等于其尺度为相应高度z的小波系数，也就是说水平面磁荷的磁场小波变换与其向上延拓实质上是等同的。

更一般地，设位场φ解析延拓的边值问题为

地球物理信息处理基础

其中φ0（x）是有界、平方可积的，φ（x，z）由φ0（x）和在无穷远边界条件唯一确定。φ（x，z）是φ0（x）从超平面R到上半空间的解析延拓，可表示成卷积形式

φ（x，z）=（Dzp*φ0）（x） （7-14）

这里p为Poisson核，且满足半群性质

Dzp*Dz′p=Dz+z′p （7-15）

φ0（x）的解析延拓值可以表示成小波变换系数（如上述的水平面磁荷的垂直分量），即

φ（x，z）=Wp｜φ0（x，z）

对位场来说，用齐次函数σ（x，z）模拟场源，其Poisson方程为

Δ2φ（q）=-σ（q），q（x，z）∈R2 （7-16）

式中σ是相对于点（x，z0≥0）处的齐次场源密度（如偶极子场源），是正则指数为a的齐次函数，支撑区间是R×R+的下半空间，这意味着：对任意正数λ有σ（λx，λz）=λaσ（x，z），且有

σ（x/λ，z）=λ-aσ［x，λ（z-z0）+z0］ （7-17）

σ（q）产生位场φ（x，z）的正则指数为a+2，即

φ（x/λ，z）=λ-a-2φ［x，λ（z-z0）+z0］ （7-18）

对观测位场φ0（x）来说，有

Dλφ0（x）=λ-1-a-2φ［x，（1-λ）z0］ （7-19）

膨胀算子只作用于x。式（7-19）说明：对于齐次位场来说，其膨胀算子的作用与向上延拓算子的作用是等效的。比较式（7-14）和式（7-19），得到下式

D（1-λ）z0p*=λ1+a+2Dλ （7-20）

7.2.1.3 局部齐次位场源小波分析

式（7-3）表明小波变换与膨胀是协变的，而式（7-19）表明位场是齐次的，可得

Wψ｜φ0（b，a）=λWψ｜Dλφ0（λb，λa）=λ-a-2Wψ｜φ（x，（1-λ）z0）（λb，λa）（7-21）

由解析延拓式（7-14）给出

φ［x，（1-λ）z0］=［（D（1-λ）z0p）*φ0］（x） （7-22）

则

Wψ｜φ0（b，a）=λ-a-2·{［（D（1-λ）z0p）*Dλa］ψ*φ0}（λb）（7-23）

由式（7-15）知

（Dap*Da′）ψ=（cDa＂）ψ （7-24）

系数c与膨胀a＂（取决于a、a′和ψ，式（7-23）简化为

Wψ｜φ0（b，a）=λ-a-2［（cDa＂ψ）*φ0］（λb）=cλ-a-2Wψ｜φ0（λb，a＂）（7-25）

提供了齐次位场小波变换“声音”间的关系。

将c和a＂用a、λ、z0来表示，Moreau等人已证明：满足式（7-23）的一类小波可以用线性算子作用于Poisson核p（x）而构成，即

地球物理信息处理基础

为γ阶齐次傅氏乘子，由傅氏变换的性质

可知，只要取，L（ω）=（iω）γ，且有L（λω）=λγL（ω），即满足齐次性。

若取

地球物理信息处理基础

用膨胀算子作用于p（x），得pa（x）=Dap（x）=p（x/a）/a，即

地球物理信息处理基础

这是我们熟悉的向上延拓算子，把调和场φ（·，z）从高度Z变换到高度z+a。由p1沿水平和垂直（向上）的一次导数可以分别构成“水平”ψx和“垂直”ψz两类实小波，那么，ψx和ψz对x的γ-1次导数分别给出γ阶小波及其傅氏变换

地球物理信息处理基础

将γ阶齐次傅氏乘子（为γ阶导数）和膨胀算子Da作用于Poisson半群核，获得一类小波ψγ，也称柯西（Cauchy）小波，当γ分别为1、2、3时，有

地球物理信息处理基础

地球物理信息处理基础

图7-1 由Poisson半群核形成连续的非正交、非紧支撑柯西母小波函数

这类γ阶小波是连续的非正交、非紧支撑母小波，见图7-1。用这类γ阶母小波对位场φ0（x）进行小波变换分析，即用膨胀参数a膨胀这些母小波，把ψγ（x）变换成ψγ（x/a）/a，位场φ0（x）与这些膨胀实小波的卷积给出尺度为a的位场小波系数，它相应于位场φ0（x）

求γ次导数后向上延拓到高度为z+a处的延拓值φ（γ）（x，z+a），延拓场量纲为原场量纲，有

地球物理信息处理基础

式中：φx（·，z）和φz（·，z）分别表示位于z处的位场函数φ0沿水平、垂直方向上的一次导数。

针对此类小波，式（7-25）可以简化为下式

地球物理信息处理基础

与式（7-5）相比较，只是在右端的尺度因子和膨胀因子中出现了z0项。这表明位于（x=0、z=z0）的局部齐次场源在z=0处所产生的位场φ0（x）=φ（x，z=0），其小波变换系数在位置参数与膨胀参数所构成的上半平面（a=-z＞0）内服从小波变换双尺度定律，由式（7-32）得

地球物理信息处理基础

等式左边中b、a分别表示某一位置、膨胀参数（不同高度），而右边中b（a′+z0）/（a+z0）、a分别表示另一位置、膨胀参数。指数γ是小波ψγ的阶数，指数β是与场源正则指数a有关的参数，称尺度指数。方程（7-33）在（b，a）平面内，形成满足b/（a+z0）=常数的一簇直线，并且在下半平面相交于点（0，z0），在三维情况下，就会形成一簇圆锥柱面，圆锥柱面的顶点为交汇点。信噪比在极值上为最佳，故取

，则驻点形成一簇直线，称此簇直线为极值轴线，也称小波系数的峰脊，其交汇点为场源位置，而沿着峰脊，小波系数的幅值是按指数aa的形式变化的，根据其变化规律，可估计齐次函数的正则指数a。