实反对称矩阵 n阶实反对称矩阵

A为实反对称矩阵,证明I+A可逆

A实反对称矩阵,设入为A特征值,AX=入X,入((X共轭)对称)X=...=-入共轭((X共轭)对称)X

X不为0,入=-(入共轭),入为纯虚数或0

|I+A|=-fA(-1)不为0,可逆

实反对称矩阵的特征值全为零，那么这个矩阵为零矩阵吗，如果是可否给出证明

一定是零矩阵。实反对称矩阵是正规矩阵，对于正规矩阵来说，若它的特征值全为零，那么它就是零矩阵。证明很简单：正规矩阵A可进行特征值分解A=UTU^H，其中U是酋矩阵，T是对角矩阵，T的主对角线上元素是A的特征值，若A只有零特征值，则T=O，从而A=O。

什么是反对称矩阵？

设A=(aij)，若aij=-aji，则称A是反对称矩阵。

语言描述为：以主对角线为对称轴，对应位置上的元素互为相反数。

反对称行列式的定义是类似的，也是对应位置上的元素互为相反数。

主对角线上的元素为0。

对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵。

实反对称矩阵 n阶实反对称矩阵

设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

扩展资料：

实反对称矩阵是一种反对称矩阵，指欧氏空间的反对称变换在标准正交基下的矩阵，即元素aij都是实数，并且aij=-aji(i，j=1，2，…)，n的n阶矩阵A=(aij)。它有以下性质：1.A的特征值是零或纯虚数；2.|A|是一个非负实数的平方；3.A的秩是偶数，奇数阶反对称矩阵的行列式等于零

参考资料来源：百度百科-实反对称矩阵

实反对称矩阵 n阶实反对称矩阵

证明实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数

只要会证明Hermite矩阵的特征值都是实数就行了。

如果H是Hermite矩阵，(c,x)是H的特征对，即Hx=cx，那么c=x*Hx/(x*x)是实数。

接下来，A是反Hermite矩阵当且仅当iA是Hermite矩阵，所以反Hermite矩阵的特征值都在虚轴上，实反对称矩阵当然是反Hermite矩阵。

当然也可以直接对Ax=cx进行处理得到conj(c)=-c，和Hermite矩阵的处理方法一样，不过你很有必要把前面那些东西都搞懂。

A是n阶实反对称矩阵,证明A+E是可逆矩阵

如下：

可逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

实反对称矩阵 n阶实反对称矩阵

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T(转置的逆等于逆的转置）。

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

用连续性证明:实反对称矩阵的行列式一定非负？

如果A是实反对称矩阵, 考察[0,1]上的连续函数f(t)=det(tI+(1-t)A), 那么f(1)>0.

如果f(0)<0, 那么在(0,1)中存在一点c使得f(c)=0, 此时cI+(1-c)A奇异, 一定存在非零向量x使得(cI+(1-c)A)x=0, 左乘x^T得到0=x^T(cI+(1-c)A)x=cx^Tx>0, 矛盾. 因此一定有f(0)>=0.