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常见的收敛和发散的无穷级数
1、∑1，∞1/n^p，p1收敛。（p-级数）
2、∑1，∞aq^(n-1)-1q1收敛（等比级数）
3、∑1，∞1/[n(n+1)]收敛。（可拆项级数）
4、∑1，∞1/n！收敛。
5、∑1，∞(-1)^n/n^p，0p≤1时条件收敛，p1绝对收敛。（交错p-级数）
6、∑1，∞(-1)^n/n^p，0p≤1时条件收敛，p1绝对收敛。（交错p-级数）
函数收敛
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b0,存在c0,对任意x1,x2满足0|x1-x0|c,0|x2-x0|c,有|f(x1)-f(x2)|b。
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数
求无穷级数怎么求
无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；
发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。可用无穷级数方法求和的包括：数项级数、函数项级数（又包括幂级数、傅氏级数；复变函数中的泰勒级数、洛朗级数。
性质
1） 级数收敛的一个必要条件是它的通项以0为极限。
证：
2） 若有一个无穷级数 ：每一项乘以一个常数a，则其和等于as。
即：
3） 收敛级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：，
则：，,这可由极限的加减法性质推出
4） 级数中去掉或加上或改变有限项不影响其收敛性，
如：和这两个级数的敛散性是一样的，但极限值不一定相等。
5） 收敛级数的部分和数列的子数列也收敛（逆否命题也成立），并且其和就是原级数的和；若收敛，则未必收敛。
6） 3的推论：如果任意有限个无穷级数都是收敛的，那么它们任意的线性组合也必定是收敛的。注意对于都是发散的级数，则不存在类似的结论。
7） 5的推论：若级数收敛，则收敛，其所对应的新的级数（通项：）必收敛（逆否命题也成立）；若仅收敛，则级数未必收敛。
无穷级数常见6个公式是什么？
无穷级数常见6个公式是1除1减x等于∑x^n减1，1除1加K，1除1加K^n。这是公比为q等于x的等比级数求和公式的反过来应用，可以直接使用其中要用到收敛的等比级数的余项级数，仍然是等比级数和。
无穷级数常见6个公式特点
无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别，只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和，算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和有些数列可以用无穷级数方法求和。
正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列，而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界，有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。
无穷级数 泰勒公式
当n大于4时，√nlnn2 1/√nlnn1/2
取|x|《1/2 ,由泰勒公式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(ξ)x^2/2 |x|《1/2
=f''(ξ)x^2/2
|f(x)|=|f''(ξ)|x^2/2《Mx^2/2 f''连续，故|f''(ξ)|有界
|f(1/√nlnn)|=《M(1/√nlnn)^2/2=(M/2)[1/n(lnn)^2]
用积分判别法，级数[1/n(lnn)^2]收敛，所以级数f(1/√nlnn)绝对收敛
无穷级数求和7个公式
ln(x+1)的麦克劳林级数：x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n+1)x^n/n+...
x=1得ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-...（阿贝尔第二定理）
-1x1时1 bdsfid="118" (1+x^2)="1-x^2+x^4-x^6+...+((-1)^n)(x^(2n))+...
两边积分得arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...
将x=1代入得arctan1=pi/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...（阿贝尔第二定理）
绝对收敛级数：
一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的。一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。
对于任意给定的正数tol，可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小)，使得这个区间内任意三个点组成的三角形面积都小于tol。
无穷级数常见6个公式是什么有哪些？
无穷级数常见6个公式是ln(x+1)的麦克劳林级数：x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n+1)x^n/n+...。
x=1得ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-...（阿贝尔第二定理）-1x1时1 bdsfid="118" (1+x^2)="1-x^2+x^4-x^6+...+((-1)^n)(x^(2n))+...两边积分得arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+。
正项级数及其敛散性：
正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。
以上内容参考：百度百科-无穷级数
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