什么是正态分布 高尔顿板为什么是正态分布

什么是正态分布?

标准正态分布密度函数：f(x)=(1/√2π)exp(-x^2/2)。而其中exp(-x^2/2)为e的-x^2/2次方，其定义域为（-∞，+∞），从概率密度表达式可以看出，f(x)是偶函数，即f(x)的图像关于y轴对称。

Φ(x)定义为服从标准正态分布的随机变量X的分布函数，其值为对f(x)关于x积分，从-∞积到x。从f(x)图像上看，Φ(x)的值相当于f(x)曲线一下，x轴曲线以上，区域为（-∞，x）这段的面积。由于f(x)为偶函数，且有分布函数性质Φ(+∞)=1，可以求出Φ(0)=0.5。

正态分布概率密度函数特性

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

什么是正态分布？

正态分布是一个概率型的分布，若随机变量x服从一个数学期望为u、方差为a2的正态分布，记为N(u，a2)。其概率密度函数为正态分布的期望值u决定了其位置，其标准差a决定了分布的幅度。当u=0,a=1时的正态分布是标准正态分布。

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什么是正态分布？

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）为试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

对于连续型随机变量X，若其定义域为（a，b），概率密度函数为f（x），连续型随机变量X方差计算公式：D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大）

若X的取值比较集中，则方差D（X）较小，若X的取值比较分散，则方差D（X）较大。

因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。

什么是正态分布

1、正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

2、正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

3、若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

什么是正态分布？

正态分布

normal distribution

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一种概率分布.正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布,第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值,第二个参数σ2是此随机变量的方差,所以正态分布记作N(μ,σ2 ).遵从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大 ,而取离μ越远的值的概率越小；σ越小,分布越集中在μ附近,σ越大,分布越分散.正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称,在μ处达到最大值,在正（负）无穷远处取值为0,在μ±σ处有拐点.它的形状是中间高两边低 ,图像是一条位于x轴上方的钟形曲线.当μ＝0,σ2 ＝1时,称为标准正态分布,记为N（0,1）.μ维随机向量具有类似的概率规律时,称此随机向量遵从多维正态分布.多元正态分布有很好的性质,例如,多元正态分布的边缘分布仍为正态分布,它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布,特别它的线性组合为一元正态分布.

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到.C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它.P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质.

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如,在生产条件不变的情况下,产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量,等等.一般来说,如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果,那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）.从理论上看,正态分布具有很多良好的性质 ,许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的,例如对数正态分布、t分布、F分布等.

正态分布应用最广泛的连续概率分布,其特征是“钟”形曲线.

1.正态分布

若 的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）

(3-1)

则称 服从正态分布,记号 .其中 、 是两个不确定常数,是正态分布的参数,不同的 、不同的 对应不同的正态分布.

正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称,曲线与横轴间的面积总等于1.

2．正态分布的特征

服从正态分布的变量的频数分布由 、 完全决定.

(1) 是正态分布的位置参数,描述正态分布的集中趋势位置.正态分布以 为对称轴,左右完全对称.正态分布的均数、中位数、众数相同,均等于 .

(2) 描述正态分布资料数据分布的离散程度,越大,数据分布越分散,越小,数据分布越集中.也称为是正态分布的形状参数,越大,曲线越扁平,反之,越小,曲线越瘦高.

(二)标准正态分布

1．标准正态分布是一种特殊的正态分布,标准正态分布的 ,,通常用 （或Z）表示服从标准正态分布的变量,记为 N（0,）.

2．标准化变换：,此变换有特性：若 服从正态分布 ,则 就服从标准正态分布,故该变换被称为标准化变换.

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3.标准正态分布表

标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到 范围内的面积比例 .

（三）正态曲线下面积分布

1．实际工作中,正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比,或变量值落在该区间的概率（概率分布）.不同 范围内正态曲线下的面积可用公式3-2计算.

（3-2）

.

2.几个重要的面积比例

轴与正态曲线之间的面积恒等于1.正态曲线下,横轴区间 内的面积为68.27%,横轴区间 内的面积为90.00%,横轴区间 内的面积为95.00%,横轴区间 内的面积为99.00%.

（四）正态分布的应用

某些医学现象,如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量,以及实验中的随机误差,呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布,但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布,可按正态分布规律处理.其中经对数转换后服从正态分布的指标,被称为服从对数正态分布.

1.估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式（3-2）估计任意取值 范围内频数比例.

2.制定参考值范围

（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标.

（2）百分位数法 常用于偏态分布的指标.表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握.

表3-1 常用参考值范围的制定

概率

（%） 正态分布法 百分位数法

双侧 单 侧 双侧 单侧

下 限 上 限 下 限 上 限

90

95

99

3.质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差,常以 作为上、下警戒值,以 作为上、下控制值.这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布.

4.正态分布是许多统计方法的理论基础.检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布.许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布,但相应的统计量在大样本时近似正态分布,因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的.