椭圆标准方程（椭圆的标准方程教学设计）

本文目录一览：

• 1、椭圆的标准方程是什么样的？
• 2、椭圆方程是什么呢？
• 3、椭圆的标准方程
• 4、椭圆的标准方程是什么？

椭圆的标准方程是什么样的？

共分两种情况：

①当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)；

②当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)；

其中a^2-c^2=b^2。

拓展资料：

椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a|F1F2|）。

椭圆的基本性质

1、范围：焦点在x  轴上  -a≤x≤a，-b≤y≤b  ；焦点在y  轴上  -b≤x≤b， -a≤y≤a。

2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。

4、离心率：e＝c/a  或 e=√（1-b^2/a2）。

5、离心率范围：0e1。

6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）

8、 P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2)≤a+c。

9、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

椭圆方程是什么呢？

椭圆方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)。

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)； 其中a^2-c^2=b^2。

椭圆方程介绍

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。

因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆，椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0(圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆的标准方程

椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，（ab0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，（ab0）。

其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2F1F2（P为椭圆上的点 F为焦点）。

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。

扩展资料

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

离心率范围：0e1。离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

参考资料来源：百度百科-椭圆

参考资料来源：百度百科-椭圆的标准方程

椭圆的标准方程是什么？

椭圆的标准方程共分两种情况[1]：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导:PF1+PF2F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)

中文名

椭圆标准方程

外文名

Standard equation of the ellipse

别称

线条

表达式

x^2/a^2+y^2/b^2=1

提出者

数学家

方程推导

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c,0)，（c,0)。

设M(x,y)为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知

|MF1|+|MF2|=2a，（a0）

即

将方程两边同时平方，化简得

两边再平方，化简得

又

，设

，得

两边同除以 ，得

这个形式是椭圆的标准方程。

通常认为圆是椭圆的一种特殊情况[2] 。

非标准方程

其方程是二元二次方程，可以利用二元二次方程的性质进行计算，分析其特性[3] 。

几何性质

X，Y的范围

当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b

当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a

对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻[4] 。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

计算方法

(（其中 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来)或 （其中 分别是椭圆的长轴，短轴的长）[5] 。

圆和椭圆之间的关系：

椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。

参考资料

[1] 曹才翰.中国中学教学百科全书:数学卷[M].沈阳:沈阳出版社

[2] 沈金兴. 数学文化视角下的椭圆标准方程推导[J]. 数学通讯, 2015(8):