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因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法：提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法。
1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的。
由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式（x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
中考重点之待定系数法求解析式的步骤
待定系数法，是数学中常用的一种求未知数的方法。下面让我们看一下待定系数法的具体解题步骤。
什么是待定系数法
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
待定系数法解一次函数解析式的步骤
先设待求函数关系式(其中含有未知的常数系数)再根据条件列出方程或方程组，求出自变量的系数，和常数b的值，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
第一步：设，设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
第二步：代，代入解析式得出方程或方程组。
第三步：求，通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
第四步：写，写出该函数的解析式。
待定系数法分解因式的步骤
待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
第一步：确定所求问题含待定系数的一般解析式;
第二步：根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程;
第三步：解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
因式分解待定系数法的步骤四步
1. 先根据展开式的特征，因式分解，系数未知的设未知数，写出因式分解式
2. 然后将这个式子展开，
3. 展开式和原来式子相比，对应系数相等列方程
4. 解方程得到因式分解式。
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待定系数法分解因式
（以下过程均是在实数范围内分解因式）
解(1)x^5+x+1
因为原式是5次式
所以若原式可以因式分解，则一定可以分解为
一个2次式因式和一个3次因式，或者一个1次因式和一个4因式
若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：
由于原式最高次项是x^5，最低次项(常数项)是1，
所以可设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)
（因为原式的最高次项一定等于两个因式的最高次项乘积，且原式最低次项也一定等于两个因式的最低次项乘积）
展开得：原式=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1
由于原式的2、3、4次项的系数都是0，1次项系数是1
所以a,b,c必须同时满足以下四个方程：
a+c=0
ac+b+1=0
bc+a+1=0
b+c=1
如果此方程组无解，则说明原式不可因式分解。（从上述4个方程中任取出3个方程，可解得a,b,c的值，将这组值带入剩下的那个方程，若等号恰好成立，则说明此该a,b,c的值是原方程组的解；若等号不成立，则说明该方程组无解）
但此题恰好有解，解得a=-1，b=0，c=1
所以原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)
检验：分解是否彻底
因式x^2+x+1的判别式0，故不能继续分解
对于因式x^3-x^2+1，也可以用待定系数法
设x^3-x^2+1=(x^2+mx+1)(x+1)
=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1
所以
m+1=-1
m+1=0
显然无解。所以x^3-x^2+1不能继续分解。
所以分解已经彻底
若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：
则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)
=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1
所以：
a+1=0
a+b=0
b+c=0
c+1=1
次方程组无解
所以原式不能分解成一个1次因式和1个4次因式
综上所述，原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)
(2)x^5+x^4+1
同上题理
若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：
设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)
=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1
方程组：
a+c=1
ac+b+1=0
bc+a+1=0
b+c=0
解该方程组的方法同上，即从上述4个方程中任取出3个方程，可解得a,b,c的值，将这组值带入剩下的那个方程，恰好能使等号成立。所以最后解得a=0，b=-1，c=1
所以原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)
检验分解是否彻底”
因式x^2+x+1的判别式0，故不能继续分解
对于因式x^3-x+1，
设其(x^2+mx+1)(x+1)
=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1
所以
m+1=0
m+1=-1
显然无解。所以x^3-x+1不能因式分解
所以分解已彻底
若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：
则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)
=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1
方程组为：
a+1=1
a+b=0
b+c=0
c+1=0
该方程组无解，说明原式不可以分解为一个1次式因式和一个4次因式
综上所述，原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)
什么叫待定系数法?
一种求未知数的方法。一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如：分解因式x^2－2xy＋y^2＋2x－2y－3。
分析：
待定系数法是初中数学的一个重要方法，我们用这个方法来解这道题：先看多项式中的二次项x^2－2xy＋y^2，可以分解成（x－y)(x－y）。因此，如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积，那么这两个因式必定是（x－y＋m）（x－y＋n）的形式，其中m、n为待定系数，只要能求出m和n的值，多项式便能分解。
解:
设x^2－2xy＋y^2＋2x－2y－3
＝(x－y＋m)(x－y＋n)
＝x^2－2xy＋y^2＋(m＋n)x＋(－m－n)y＋mn
两个多项式恒等，它们的对应项的系数就对应相等。
∴
m+n=2,mn=-3
解之，得
m＝－1
,
n＝3
∴xx－2xy＋yy＋2x－2y－3＝(x－y－1)(x－y＋3)
通过本例可知，用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
待定系数法分解因式技巧与例题
要先了解待定系数法的定义，
一种求未知数的方法。一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和
，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法---
熟练了以后
就好了，因式分解的基础要好，努力吧！
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