面面垂直的证明方法（面面垂直的证明方法向量法）

本文目录一览：

• 1、如何证明面面垂直？
• 2、证面面垂直有哪些方法
• 3、怎样证明面面垂直
• 4、证明面面垂直的方法
• 5、证明两个面垂直的方法(如何证明面面垂直?)
• 6、面面垂直的证明方法

如何证明面面垂直？

定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。

定理

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

几何描述:若a⊥β，a⊂α，则α⊥β

证明:任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β

∵a⊂α，P∈a

∴P∈α

即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和β的公共点

∴P∈b

过P在β内作c⊥b

∵b⊂β，a⊥β

∴a⊥b，垂足为P

又c⊥b，垂足为P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵c⊂β

∴a⊥c，即∠aPc=90°

根据面面垂直的定义，α⊥β

推论1

如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β

证明:过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c

∵a∥β

∴a∥c(线面平行的性质定理)

∵a⊥α

∴c⊥α(线面垂直的性质定理)

∵c⊂β

∴β⊥α(定理1)

推论2

如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。(可理解为法向量垂直的平面互相垂直)

证明:设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b

则根据线面平行的判定定理，有a∥β

∵a⊥α

∴α⊥β(推论1)

这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。

三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

已知:α⊥β，β⊥γ，γ⊥α，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c

求证:a⊥b，a⊥c，b⊥c

证明:∵α∩β=a，α⊥γ，β⊥γ

∴a⊥γ(定理3)

∵b⊂γ，c⊂γ

∴a⊥b，a⊥c

同理可证b⊥c

证面面垂直有哪些方法

1。证明平面与平面垂直的方法：（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角；（2）利用“面面垂直”判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。简述为：“若线面垂直，则面面垂直”。2.

平面与平面垂直的性质：（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则线面垂直”。（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用3．“面面垂直”的判定定理和性质定理和“线面垂直”的判定定理和性质定理有密切联系，若注意到这一联系，则既可加深对垂直关系概念的系统理解，又可加强对有垂直关系的有关定理之间的内在联系的认识。例题：如图，过s引三条长度相等但不共面的线段sa、sb、sc，且∠asb=∠asc=60°，∠bsc=90°。求证：平面abc⊥平面bsc。作ad⊥平面bsc，d为垂足。

∵∠asb=∠asc=60°，sa=sb=sc，则as=ab=ac，

∴d为△bsc的外心。又∠bsc=90°，

∴d为bc的中点，即ad在平面abc内。

∴平面abc⊥平面bsc。证法二：

取bc的中点d，连接ad、sd，易证ad⊥bc，又△abs是正三角形，△bsc为等腰直角三角形，∴bd=sd∴ad2+sd2=

ad2+bd2=ab2=as2，由勾股定理的逆定理，知ad⊥sd，∴ad⊥平面bsc。又ad

平面abc，

∴平面abc⊥平面bsc。评注本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。方法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内；方法二则是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直。

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怎样证明面面垂直

证明面面垂直四个方法是利用定义证明、利用面面垂直的判定定理证明、判定定理法、向量定理，若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。平面角由射线、点、射线构成，是从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形。平面角的大小定义为以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长与半径之比。

证明面面垂直的方法

面面垂直的证明方法：线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行于或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2。平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2。通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的。

面面垂直判定定理：

定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

推论1：如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

推论2：如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。(可理解为法向量垂直的平面互相垂直)。

面面垂直性质定理：

定理1：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

定理2：如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

推论：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

定理4：如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。(判定定理推论1的逆定理)。

推论：如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。(判定定理推论2的逆定理)。

证明两个面垂直的方法(如何证明面面垂直?)

1、证明面面垂直四个方法。

2、证明面面垂直有几种方法。

3、面面垂直的证明方法总结。

4、怎么证明两面垂直。

1.证明面面垂直四个方法是利用定义证明、利用面面垂直的判定定理证明、判定定理法、向量定理，若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。

2.平面角由射线、点、射线构成，是从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形。

3.平面角的大小定义为以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长和半径之比。

面面垂直的证明方法

面面垂直的证明方法视频 面面垂直的证明方法【初中部分】

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

面面垂直的证明方法【高中部分】

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法 两条直线的方向向量数量积为0

2斜率 两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的`性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。