二元一次方程组的解法（三元一次方程组的解法）

二元一次方程组顺序消元法？

利用消元法解二元一次方程组

二元一次方程组的解法（三元一次方程组的解法）

解二元(三元)一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法。

1．解法：

（1） 代入消元法是将方程组中的其中一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，消去另一个未知数，得到一个解。代入消元法简称代入法。

（2）加减消元法利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

用加减法消元的一般步骤为：

①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数;

②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；

二元一次方程组的解法（三元一次方程组的解法）

③解这个一元一次方程；

④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；

⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。

2．思想：“消元”，即将“二元”转化成“一元”，这种方法体现了数学研究中的化归思想，具体说就是把“新知识”转化成旧知识，把“未知”转化成“已知”，把“复杂问题”转化成“简单问题”。

　

求解二元一次方程组？

概念

当二元一次方程组的两个方程中间一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

解题步骤

变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）；

加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；

求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；

回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；

写解：写出方程组的解。

二元一次方程基本形式？

如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无数个解，若加条件限定有有限个解。二元一次方程的解 方程组中有两个知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有不少于两个方程。

二元一次方程组的解:两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程的一般形式ax+by+c=0

且a,b不等于0,上式就是关于x和y的二元一次方程

怎么求二元一次方程的解？是方程不是方程组？

二元一次方程，也就是有2个未知数，未知数的次数是1，如果是只有一个方程，那么一般是没有确定的解，也就是有无数组解。

一般这种题目对解有一些限制，如:整数

解，大于多少而小于多少……等等。

二元一次方程解的关系？

解，因为二元一次方程在解析几何中又叫二元一次直线方程式。所以二元一次方程表示的就是一条直线的点的集合。因此二元一次方程解的关系是无数个对应的点的集合坐标值。也就是说二元一次方程的解是无数个的。解的关系就是点的横纵坐标值。

二元一次方程组的核心解法主要需要利用公倍数的概念，将方程组同时乘以公倍数后将其中一个元的系数调整为相同，然后将方程组想减，这样约掉其中一个元，将二元一次方程组变换为一元一次方程，计算出一个元的结果将其带入任意一个方程便可计算出结果。

韦达定理:ax²＋b两个解分别为X1，X2

X1+X2＝-b/a

X1*X2＝

二元一次方程怎么设未知数？

主要根据问题来设元，一般求什么设什么。找出两个未知数，设一个为X,那么设另一个为Y，根据题意再找出它们的平衡关系。

使学生弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；

2．通过练习和讨论，进一步培养学生的观察、比较、分析问题的能力．

教学重点和难点

重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义．

难点：弄懂二元一次方程组解的含义．

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1．我们在初一时学习了一元一次方程的有关概念及其解法，谁能写出一个—元一次方程，并指出它的解是多少？

2．为什么它(是指学生回答问题(1)时例举的方程)叫一元一次方程？

3．方程中“元”是指什么？“次”是指什么？

二、引导学生讨论二元一次方程、二元一次方程组和它的解等概念

问题：(投影)

一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔子各多少只？教师提出：这是一个非常有意思的问题，它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，我想这个问题也一定会使在坐的每一名同学感兴趣．那么，现在我们怎样来解答这个问题呢？(先让学生思考一下，然后自己做出解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，教师引导给出各种解法)

解法一：在分析时，可提出如下问题：

1．50只动物都是鸡，对吗？

(不对，因为50只鸡有100只脚，脚数少了)

2．50只动物都是兔子对吗？

(不对，因为50只兔子共有200只脚，脚数多了)

3．一半是鸡，一半是兔子对吗？

(不对，因为25只鸡，25只兔共有150只脚，多10只脚)

怎么办？(在学生思考后，教师指出：我们可采取逐步调整，验算的方法来加以解决)

4．若增加一只鸡，减少一只兔，那么动物总只数，脚数分别怎样变化？

(当增加一只鸡，减少一只兔时，动物的总只数不变，脚数比原来少两只)

5．现在你是否知道有几只鸡、几只兔？

(若学生回答还是感到困难，教师应引导学生根据一半是鸡，一半是兔时多10只脚，做出5次如问题4所述的方法进行调整，即增加5只鸡，减少5只兔，则多出的10只脚就没有了，故答案是30只鸡、20只兔)

此时，教师指出：这个问题是解决了，但它在很大程度上依赖于数字，50和140比较小，比较简单，若它们相当大且又很复杂，那么像上述方法这样一次次的试算就很麻烦了．然后提出问题：是否可有其它的方法来解决这个问题呢？(若学生在思考后，还很茫然，则教师引导学生尝试可否用一元一次方程来解．由一名学生板演，其余学生自行完成)

解法二：设有x只鸡，则有(50-x)只兔．根据题意，得2x＋4(50-x)=140．

(解方程略)

追问：对于上面的问题用一元一次方程可解，是否还有其它方法可解？(若学生想不到，教师可引导学生注意，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程．然后请一名学生板演解所列的方程)

解法三：设有x只鸡，y只兔，依题意得

<，

2x+4y=140．

针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：

1．结合前面的复习提问，这两个方程应该叫几元几次方程呢？

二元一次方程组的解法（三元一次方程组的解法）

2．为什么叫二元一次方程呢？

3．什么样的方程叫二元一次方程呢？

结合学生的回答，教师板书二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知项次数是1的方程，叫做二元一次方程．

从解法一，我们还知道，x=30，y=20，使方程组中每一个方程成立．以我们把

右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解)

将上述问题的三种解法进行优劣对比，你有哪些想法呢？(若学生回答得不全面，不确切，教师可补充归纳如下：当我们运用代数知识将问题翻译成代数语言列方程时，就可以借助代数运算来求解，从上面的问题可以看到，列二元一次方程组比列一元一次方程容易)

二元一次方程组用加减法怎么解？

加减消元法 利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，是方程只含有一个未知数而得以求解。

像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。用加减法消元的一般步骤为： （1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法. （2）加减法解二元一次方程组的步骤 ①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式； ②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）； ③解这个一元一次方程，求出未知数的值； ④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解； ⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）. 例题： 1. 3x+2y=7 ① 5x-2y=1 ② 解： ①+② : (3x+5x)+2y+(-2y)=(7+1) 8x=8 ∴ x=1 把X代入① : 3x+2y=7 3×1+2y=7 2y=4 ∴ y=2 x=1 y=2 代入消元法解二元一次方程的一般步骤 （1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. （2）代入法解二元一次方程组的步骤 ①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； ②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）； ③解这个一元一次方程，求出未知数的值； ④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解； ⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）. 代入消元法例子 代入消元法：把其中一个方程的某个未知数的系数变成1，代入另一个方程即可。比如： 2x+y=9 ① 2 ② 解：由①得：y=9-2x ③ 把③代入②得：2x-(9-2x)=-1 x =2 ∴方程组的解为 x=2 y=5

二元一次方程组的方程？

二元一次方程：对于方程：ax2＋b：

b2－4ac叫做根的判别式．

①求根公式是x

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．

②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0．

有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组