幂函数求导公式（幂函数求导公式证明详细）

本文目录一览：

• 1、幂函数和指数函数，求导公式?
• 2、幂指函数求导公式
• 3、幂函数导数公式是什么？
• 4、幂函数的导数是多少?
• 5、幂函数的导数是什么？

幂函数和指数函数，求导公式?

(x^a)'=ax^(a-1)

证明：y=x^a

两边取对数lny=alnx

两边对x求导(1/y)*y'=a/x

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)

y=a^x

两边同时取对数：

lny=xlna

两边同时对x求导数：

==y'/y=lna

==y'=ylna=a^xlna

拓展资料：

幂函数：一般的，形如y=x(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

指数函数：是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。一般地，y=a^x函数(a为常数且以a0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。

幂指函数求导公式

幂函数y=x^a和指数函数y=a^x的求导公式分别为：y'=a*x^(a-1)，y'=a^x*lna。

【扩展资料】

当a的值大于1时，指数函数的增长速率是要比幂函数的增长速率要高的。如下图所示，比如当a=2时，幂函数是y=x^2，指数函数是y=2^x，分别对其求导，可以分别得到y=2x和y=2^x*ln2。指数函数的增长实际上是一种激增模式，在实际实例中，比如病毒的扩散速率，就跟指数函数非常之像；再比如人口的增长模式，也近乎于一种指数函数。而对于幂函数，其增长速率相对一般。

幂函数导数公式是什么？

幂函数导数公式的证明：

y=x^a

两边取对数lny=alnx

两边对x求导(1/y)*y'=a/x

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)

在这个过程之中：

1、lny 首先是 y 的函数，y 又是 x 的函数，所以，lny 也是 x 的函数。

2、lny 是一目了然的，是显而易见的，是直截了当的，所以称它为显函数，explicit function。

3、设 u = lny，u 是 y 的显函数，它也是 x 的函数，由于是隐含的，称为隐函数，implicit。

4、u 对 y 求导是 1/y，这是对 y 求导，不是对 x 求导。

5、u 是 x 的隐函数，u 对 x 求导，用链式求导，chain rule。

6、u 对 x 的求导，是先对 y 求导，然后乘上 y 对 x 的求导，也就是：

du/dy = 1/y

du/dx = (du/dy) × (dy/dx) = (1/y) × y' = (1/y)y'。

扩展资料：

幂函数高阶导数公式的推导：

运用导数定义x^n'=（（x+Δx）^n-x^n）/Δx

运用二项式展开后并除去Δ的结果中除了C（1,n）x^n-1之外全部是含Δ的项

因为Δ趋于无穷小所以可以直接省掉

所以x^n'=nx^n-1

参考资料来源：百度百科-求导

幂函数的导数是多少?

幂函数的导数是ax^(a-1)。

幂函数导数公式的证明：

y=x^a。

两边取对数lny=alnx。

两边对x求导（1/y)*y'=a/x。

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

1、取正值

当α＞0时，幂函数y=x^a有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）。

b、函数的图像在区间［0,+∞）上是增函数。

c、在第一象限内，α＞1时，导数值逐渐增大；0α＜1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

2、取负值

当α＜0时，幂函数y=x^a有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）。

b、图像在区间（0，＋∞）上是减函数。

c、在第一象限内，有两条渐近线，自变量趋近0，函数值趋近＋∞，自变量趋近＋∞，函数值趋近0。

3、取零

当a=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

幂函数的导数是什么？

幂函数导数公式的证明：

y=x^a。

两边取对数lny=alnx。

两边对x求导(1/y)*y'=a/x。

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

特性介绍：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

a小于0时，x不等于0。

a的分母为偶数时，x不小于0。

a的分母为奇数时，x取R。