三角形外接圆的性质有哪些（三角形内接圆和外接圆的性质）

圆一般形态下具有什么性质？

圆是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

1、圆有无数条半径和无数条直径。圆形是抽象的封闭的平面图形，有半径和直径。圆可以看成由无数个无限小的点组成的正多边形，当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。

2、圆是轴对称并且中心对称的图形。圆周角是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角。在同圆或等圆中，两圆周角相等，则其所对的弦(或弧)也相等；反之，等弧所对的圆周角相等。而等弦所对圆周角相等或相补，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

3、平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆面积是指圆形所占的平面空间大小，常用S表示。其计算方法有很多种，比较常见的是开普勒求解法，即一个半径为r的圆的面积S=πr，这里的希腊字母π表示圆周率。

三角形外接圆的性质有哪些（三角形内接圆和外接圆的性质）

不喜欢

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

圆是轴对称图形，经过圆心的每条直线都是它的对称轴，所以有无数条对称轴。

圆是中心对称图形，圆绕圆心旋转任意一个角度都能和本身重合，所以圆具有旋转不变性。

三角形四心合一的性质？

答 1，到三边的距离相等。

2到三个顶点的距离相等。

3，把中线分成两段的比2/1。(中线也是高，边是角平分线)。

三角形外接圆的性质有哪些（三角形内接圆和外接圆的性质）

等边三角形四心合一。它所具有的性质如下：

（1）等边三角形是锐角三角形，内角都相等，为60⁰。

（2）等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。

（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。

（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点（四心合一）。

（5）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值（等于其高）。

三角形的圆规律是什么？

表示每四个一组，每组的第一个是○，第二和第三个是△

，第四个是○

然后第二组、第三组同样

一、圆及圆的相关量的定义（28个） 
1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 
5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 
6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 
7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 

二、有关圆的字母表示方法（7个） 
圆--⊙ 半径—r 弧--⌒ 直径—d 
扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S 

三、有关圆的基本性质与定理（27个） 
1.点P与圆O的位置关系（设P是一点，则PO是点到圆心的距离）： 
P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。 
2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 
4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 
5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 
6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 
7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 
8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。 
9.直线AB与圆O的位置关系（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）： 
AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。 
10.圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。 
11.圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P）： 
外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。 

四、有关圆的计算公式 
1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr² 3.扇形弧长l=nπr/180 
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 

五 圆的方程 
1.圆的标准方程 
在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是 
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 
2.圆的一般方程 
把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是 
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 
和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2 
相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r. 

六 圆与直线的位置关系判断 
链接  
(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0], 
代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0. 
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下: 
如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交 
如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切 
如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离 
(2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y轴(或垂直于x轴) 
将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 
令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1<x2 
当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时,直线与圆相离 
当x1<x=-C/A<x2时,直线与圆相交 
当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切 

园内接三角形内心是什么线的交点?外心呢？

重心:在三角形中，三条中线交于一点，该点叫做这一三角形的重心。性质：三角形的重心把每一条中线分成两部分，这两部分之比为2：1，即重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的二倍。

外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。也是三角形外接圆的圆心。性质：三角形的外心到各顶点的距离相等。

垂心：在一个三角形中，三条边上的高（或其延长线）交于一点，该点叫做这一三角形的垂心。

内心：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。也是三角形内切圆的圆心。性质：内心到两边的距离相等。

旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。旁心就是三角形旁切圆的圆心。

注：三角形只有五心。

三角形外心内心区别？

区别如下：

1、外心是指三角形外接圆的圆心，内心是指三角形内切圆的圆心。

2、外心是三角形三边中垂线的交点，内心是三角形角平分线的交点。

3、性质不同，外心到三角形顶点距离相等，内心是到三角形三边的距离相等。

这是几何中的三角形与圆的关系，作为重点内容必须掌握，我感觉在理解的基础上好掌握，尤其是画图可以加深理解。

初中数学教材中对于三角形的内心和外心都有明确的定义，两者都是三角形中的重要的点，各自都有特殊的性质和应用。三角形中除了内心和外心，还有重心、垂心、旁心等，这些都是我们学习几何图形的重要基础。对于初学者会存在一定的难度，只要我们认真学习，这些问题是不难掌握的。

一、三角形的内心和内心的性质

1、“内心”是三角形的角平分线交点，也是三角形的内切圆的圆心。

2、内心性质

（1）三角形的任一个顶点和它的内心的连线必定平分这个角。

（2）内心到三角形三条边的距离相等，而且都等于这个三角形的内切圆的半径长。

三角形外接圆的性质有哪些（三角形内接圆和外接圆的性质）

（3）设一个三角形ABC的内心为“O”，内切圆半径为r，三条边长分别为，则三角形ABC的面积S=(1/2)x(a+b+c)xr。即三角形的面积等于三角形周长与其内切圆半径乘积的一半。二、三角形的外心和外心的性质

1、“外心”是三角形的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

【注】垂直平分线也叫“中垂线”。

2、外心性质

（1）三角形的任意一条边的中点和外心的连线必定在这条边的垂直平线上，所以也必定垂直平分这条边。

（2）外心到三角形三个顶点的距离相等，而且都等于这个三角形的外接圆的半径长。

三、三角形的重心和重心的性质

1、“重心”是三角形中线的交点。

2、重心性质（高频考点）

（1）三角形顶点与重心的连线必定在三角形的一条中线上。

（2）延长三角形的一个顶点与重心的连线，使得交于这个顶点的对边上一点，则这个交点为边上的中点。

（2）三角形的重心把三角形的任意一条中线分成两条线段，其中重心到三角形顶点的线段长是另一条线段长的2倍。

【注】三角形的三条中线长不一定相等，但在任何一条中线上，重心到顶点的线段和重心到顶点对边中点连线的线段长的比值都是2：1.四、三角形的垂心和垂心的性质

1、垂心是三角形高线的交点。

2、垂心性质

（1）三角形的顶点与垂心的连线必定在三角形的一条高线上。

（2）三角形任何一个顶点和垂心的连线必定垂直于这个顶点的对边。

五、三角形的中心和中心的性质

1、三角形的“四心”（内心、外心、重心、垂心）重合后的点称为这个三角形的中心。只有等边三角形才有中心。

2、中心性质

因为中心是三角形的内心、外心、重心、垂心“四心”重合后的点，所以等边三角形的中心具有三角形内心、外心、重心、垂心所具有的全部性质。

三角形的内接圆心是什么线的交点？

这个问题的问法本身是有问题的，确切的表述是三角形的内切圆心或三角形的外接圆心。其中：三角形的内切圆圆心是该三角形三条角平分线的交点，也称为内心，内心到三角形三边的距离相等；三角形外接圆圆心是该三角形三条边上的三条中垂线的交点，也称为外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。另外，三角形还有重心（三条中线的交点）和垂心（三条高的交点）。当一个三角形为等边三角形时，其四心合一。

三角形应该没有内接圆这个概念。因此也就没有内接圆圆心这个东西。但是三角形有内切圆。内切圆的圆心叫三角形内心，它是三角形三条角平分线的交点。它到三角形三边的距离相等。同时三角形还有外心，即外接圆的圆心。它是三边垂直平分线交点。

直角三角形的外接圆的定理？

直角三角形ABC外接圆的圆心是三条边的垂直平分线的交点0(就是斜边的中点），以0到三个顶点的距离0A，0B，0C为半径画的圆。因为0点在垂直平分线上所以它到各顶点的距离0A=0B=0C=R相等。因为它是直角三角形，所以斜边就是圆的直径2R，0C是斜边的中线。